振动信号处理基础

在设备运行时，我们如果想要监控它内部各个部件的运转情况，一种行而有效的方式就是在相应部件上加装传感器，测量它的振动数据，再进行进一步的分析。采集到的原始信号往往是不能直接拿来分析的，需要经过一定的处理以后才能更好地提取出振动信号内部蕴含的特征。

振动的描述

常用的描述振动的物理量：

位移 $\Delta x=x_2-x_1$
速度 $\nu=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{dx}{dt}$
加速度 $a=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \nu}{\Delta t}=\frac{d \nu}{dt}$
力 $F=ma$
应变（线应变、角应变）

定义与分类

确定性信号：能用确定的时间函数表达
- 周期信号：瞬时幅值随时间重复变化
  - 简谐信号
  - 复杂周期信号：能由几个简谐振动信号合成
- 非周期信号
随机信号
- 平稳随机信号：统计特性不随时间变化
  - 各态经历信号：任一次实现都经历了所有可能状态的振动信号
  - 非各态经历信号
- 非平稳随机信号

一般方法

预处理常用方法

信号类型转换

将采集信号转换为便于处理的信号（标准的电压信号）。
信号放大

增强微弱信号幅度或强度的过程，便于传输和分析。
信号滤波

保留有用频段的信号，抑制噪声信号，从而提高信噪比。常用的信号滤波包括高通滤波、低通滤波和带通滤波等。
去除均值

根据对信号均值的估计值，消除信号中所含均值成分的过程。例如在计算信号的标准差等统计量时。
去除趋势项

由环境变化、仪器零点漂移等因素导致测试得到的振动信号偏离基线，信号偏离基线随时间变化的过程被称为信号的趋势项。常用去除方法有滤波法、多项式拟合法等。

时域处理方法

时域统计分析
- 概率分布函数
- 概率密度函数
- 均值
- 均方差
- 方差
相关分析
- 自相关函数
- 互相关函数

频域处理方法

傅里叶变换
自功率谱分析
互功率谱分析
三分之一倍频程分析
实倒谱分析
复倒谱分析

振动信号时域处理

时域统计分析

如果对一随机振动的所有样本函数所取的某一时刻的集合平均与其他任一时刻的集合平均都是相同的，则该随机振动被称为平稳随机振动。它的统计特性不随时间的推移而变化。实际工程的很多随机振动信号是假设为各态经历（通俗地说，就是指经历各种状态，对于一个平稳随机过程，如果统计平均值等于时间平均值，统计自相关函数等于时间自相关函数则称之为各态历经性的平稳随机过程。）来进行处理分析的。

常用参数和指标：

均值

也称数学期望或一次矩，反映了信号变化的中心趋势。

$$\mu_x=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x(t), {\rm d}t$$

T是信号的观测区间，实际中不可能为无穷，只能作为真值的估计。
均方值

描述信号的平均能量或平均功率，又称二次矩，其正平方根值又称为有效值。

$${\Psi_x}^2=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T} x^2(t), {\rm d}t$$
方差

反映了信号绕均值波动的程度，是描写数据的动态分量，与随机振动的能量成比例。

$${\sigma_x}^2=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{0}^{T} [x(t)-\mu_x]^2, {\rm d}t$$
概率分布函数和概率密度函数

随机信号$x(t)$的取值小于或等于某一定值$\delta$的概率，称为信号的概率分布函数，常用$P(x)$表示。在工程上常被用于进行机械部件在运行中所受的随机振动应力分析，较多出现的应力振幅所造成的疲劳是导致这些部件失效的关键。

$$P(x)=P_{prb}[x(t)\leqslant \delta]=\lim_{T \to \infty}\frac{\Delta T}{T}$$

振动信号频域处理

将振动信号经傅里叶变换到频域并进行描述，将会获得更多的信息。

对于周期信号$x(t)$的傅里叶级数，若以频率为横坐标，以信号的振幅强度（或相位）为纵坐标，则可以分别画出信号的振幅强度（或相位）随频率变化的关系曲线，称为幅频（或相频）特性，二者合称为周期信号$x(t)$的频谱。

时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析以时间轴为坐标，表示动态信号的关系；频域分析把信号以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系、缺一不可、相辅相成的。

傅里叶变换

傅里叶变换是振动分析的基本工具和重要工具，是目前频谱分析中广泛采用的方法。作为时间函数的振动信号，通常在时间域中描述信号随时间变化的性质。但是在振动信号分析方法中，往往还需要采用频率域的概念对信号进行描述，把复杂的振动信号分解为多个不同频率的简谐振动信号。以频率为变量来描述信号的方法称为信号的频率域描述。把信号从时域描述变换成频域描述称为时频域变换。周期振动信号的时频域变换用傅里叶级数展开法来进行分解，而非周期振动信号的时频域变换采用的则是傅里叶积分法做变换，统称它们为傅里叶变换。

在数字信号处理中，实现数字化的时频域变换所采用的是离散傅里叶变换方法。自从离散傅里叶变换的快速算法公布以来，加之计算机的广泛普及和计算机技术的飞速发展，计算机数字信号处理完全取代了模拟信号处理。快速傅里叶变换展示了其最大优势，开辟了动态信号分析的新纪元，快速傅里叶变换已经被广泛应用在许多科研领域和实际工程中。

功率谱密度函数

随机振动频域特性的主要统计参数是功率谱密度函数及由功率谱密度函数派生而来的频响函数和相干函数等。由于随机信号的积分不能收敛，因此它本身的傅里叶变换是不存在的，只能用统计方式表示。自相关函数能完整的反应随机信号的特定统计平均量值，而一个随机信号的功率谱密度函数正是自相关函数的傅里叶变换，于是，可用功率谱密度函数来表示它的统计平均谱特性。

自功率谱分析

自功率谱描述了信号的频率结构，反映了振动能量在各个频率上的分布情况。

$$S_{xx}(f)=\int_{- \infty}^{\infty} R_{xx}(\tau)e^{-j2 \pi f \tau}, {\rm d} \tau$$

其中，$R_{xx}(\tau)$是振动信号$x(t)$的自相关函数，是时域中的统计量。

自功率谱密度函数和自相关函数是一个傅里叶变换对。自功率谱密度函数是实函数，是描述随机振动的一个重要参数。它展现振动信号各频率处功率的分布情况，体现主要频率的功率。常被用来确定结构或机械设备的自振特性。

互功率谱分析

互功率谱密度函数是复函数，实际上该函数本身并不具备功率的含义，正确称呼应为互谱密度函数。

$$S_{xy}(f)=\int_{- \infty}^{\infty} R_{xy}(\tau)e^{-j2 \pi f \tau}, {\rm d} \tau$$

频率响应函数与相干函数

频率响应函数分析

互谱的一个重要应用是计算线性系统的频率响应函数（简称频响函数）。设$x(t)$为某点输入的平稳随机振动信号（激励信号），$y(t)$为任意一点的响应（响应信号），也是平稳随机振动信号，则振动系统的频响函数为：

$$H(f)= \frac{S_{xy}(f)}{S_{xx}(f)}=\frac{G_{xy}(f)}{G_{xx}(f)}$$

频响函数是复函数，它是被测系统的动力特性在频域内的表现形式，也就是被测系统本身对输入信号在频域中传递特性的描述。

相干函数分析

相干函数为：

$$C_{xy}(f)= \frac{ {\left| S_{xy}(f) \right|}^2}{S_{xx}(f)S_{yy}(f)}$$

相干函数是两个随机振动在频域内相关程度的指标。为了评价输入信号与输出信号的因果性，即输出信号的频率响应中有多少是由输入信号的激励所引起的，为0-1范围内的正实数。

窗函数在振动信号处理中的应用

加窗对振动信号处理的影响

通常意义下的傅里叶变换是针对无限长时间的，但实际上不可能进行无限长时间采样，只有有限时间长度的信号数据，这相当于用一个矩形时间窗函数对无限长时间的信号进行截断，这种时域上的截断导致本来集中于某一频率的能量，部分被分散到该频率附近的频域，造成频域分析出现误差，这种现象称为泄漏。

为了减少振动信号截断造成的谱泄露，通常采用两种办法：加大傅里叶变换的数据长度，或对要进行傅里叶变换的信号乘上一个函数，使该信号在结束处不是突然截断的，而是逐步衰减平滑过渡到截断处的，这一类函数称为窗函数。

常用窗函数的特性分析与对比

矩形窗
$$\omega(t)=\begin{cases} 1,0\leqslant t \leqslant T \ 0,t \gt T \end{cases}$$

矩形窗相当于使信号突然截断，它的旁瓣较大，且衰减较慢，旁瓣的第一个负峰值为主瓣的21%，第一个正峰值为主瓣的12.6%，第二个负峰值为主瓣的9%，故泄漏较大。但矩形窗的分辨率高，实际中常常因为这个原因而选择矩形窗。
汉宁窗

$$\omega(t)=\begin{cases} \frac{1}{2}(1+cos(\frac{\pi t}{T})),0\leqslant t \leqslant T \ 0,t \gt T \end{cases}$$

汉宁窗的频谱实际上是由三个矩形窗经相互频移叠加而成的。汉宁窗的第一旁瓣的峰值是主瓣高的2.5%，这样旁瓣可以最大限度地相互抵消，从而达到加强主瓣的作用，使泄漏得到较为有效的抑制。采用汉宁窗函数可以使主瓣加宽，虽然频率分辨率比矩形窗稍有下降，但频谱幅值精度被大幅提高，因此，对要求显示不同频段上各个频率成分的不同贡献而不关心频率分辨率的问题，建议使用汉宁窗。
海明窗

$$\omega(t)=\begin{cases} 0.54+0.46cos(\frac{\pi t}{T}),0\leqslant t \leqslant T \ 0,t \gt T \end{cases}$$

它比汉宁窗在减小旁瓣幅值方面的效果更好，但主瓣比汉宁窗也稍宽一些。海明窗的最大旁瓣高度比汉宁窗低，约为汉宁窗的1/5，这是海明窗相比汉宁窗的优越之处。但是海明窗的旁瓣衰减不及汉宁窗迅速。
布莱克曼窗

$$\omega(t)=\begin{cases} 0.42+0.5cos(\frac{\pi t}{T})+0.08cos(\frac{2\pi t}{T}),0\leqslant t \leqslant T \ 0,t \gt T \end{cases}$$

在与海明窗和汉宁窗相同长度的情况下，布莱克曼窗的主瓣稍宽，旁瓣高度稍小。
三角窗

$$\omega(t)=\begin{cases} 1-\frac{t}{T},0\leqslant t \leqslant T \ 0,t \gt T \end{cases}$$

三角窗的旁瓣较小，且无负值，衰减较快，但主瓣宽度较大，且易使信号产生畸变。

窗函数的选择原则

针对不同的信号和不同的目的选择。一般情况下，选择窗函数的原则是：

窗函数的旁瓣尽可能小
窗函数的主瓣带宽尽可能窄
窗函数的窗长尽可能大

在频域上尽量压低旁瓣的高度，虽然压低旁瓣通常伴随主瓣的变宽，但一般情况下旁瓣的泄漏是主要的，主瓣变宽的泄漏是次要的。尽量选取频率窗有高度集中的主瓣，即主瓣衰减率应尽量大，主瓣宽度应尽量小，旁瓣高度应尽量小，最好没有负的旁瓣。对于任何一种窗函数，窗长应该尽量大，这样得到的信号才最接近真实信号，产生的频率泄漏才少。

三分之一倍频程分析

它具有谱线少，频带宽的特点，常用于声学，人体振动，机械振动等测试分析，以及频带范围较宽的随机振动测试分析等。

倍频程实际上是频域分析中频率的一种相对尺度。倍频程谱是由一系列频率点及对应这些频率点附近频带内信号的平均幅值（有效值）所构成的。这些频率点称为中心频率$f_c$，中心频率附近的频带处于下限频率$f_1$和上限频率$f_h$之间。

三分之一倍频程谱是按逐级式频率进行分析的，它是由多个带通滤波器并联组成的，目的是使这些带通滤波器的带宽覆盖整个分析频带。三分之一倍频的中心频率为：

$$f_c=1000 \times 10^{\frac{3n}{30}} Hz$$

但在实际应用中，通常采用的中心频率是其近似值。

三分之一倍频程的上下限频率与中心频率的关系为：

$$\frac{f_h}{f_1}=2^{\frac{1}{3}},\frac{f_c}{f_1}=2^{\frac{1}{6}},\frac{f_h}{f_c}=2^{\frac{1}{6}}$$

三分之一倍频程带宽为：

$$\Delta f=f_h-f_1$$

倒频谱分析

倒频谱分析可以分析复杂频谱图上的周期结构，提取调频信号中的周期成分。

倒频谱分析技术是通过在时域中测量振动数据的功率谱并取对数后进行傅里叶逆变换得到的。一个倒频谱可以被显示为谱线形式，即幅值在垂直轴上，被称为“倒频率”的伪时间在水平轴上。

倒频谱从原理上适用于包含多个谐波序列的复杂信号的分析，如由齿轮箱或滚动轴承产生的信号。具备分离和加强周期函数的能力，所以它们的关系可以被识别出来，这是倒频谱的一个重要的优点。

倒频谱变换是一种非线性信号处理方法，对信号做倒频谱分析可以使信号的各频率的组成分量比较容易识别，便于提取所关心的信息。倒频谱在处理语音信号、地震信号、生物医学信号和机械故障诊断中获得了成功的应用。例如，用倒频谱可以检测信号中的回波(反射波)，测定回波的滞后时间，以排除周围环境所造成的回波影响。在语言分析中，检测语音并测定音调，通过分析把语言分成语音效应和声道效应，改变口形使合成音变调，并与原声音进行比较，可使语音有效地收发和传输。在故障监测和诊断方面，用复倒谱中的低通和高通滤波，排除回波或者传输通道的影响。

对于倒频谱变换，主要有两种分析方法，一种是实倒谱，另一种是复倒谱。实倒谱在变换过程中保留了信号的频谱幅值信息，摒弃了相位信息，所以不能对信号进行重建，但是可以利用它来重建一个最小相位信号。而复倒谱分析则保留了信号的全部信息，能够同时对信号的频谱幅值和相位进行检测。

实倒谱的定义是通过对时域信号$x(t)$的傅里叶变换$X(f)$的幅值求自然对数，然后对所得的结果做傅里叶逆变换，即

$$C_R(t)=F^{-1}[ln \left| X(f) \right|]$$

复倒谱的定义是通过对时域信号$x(t)$的傅里叶变换$X(f)$的幅值求复自然对数，然后对所得的结果做傅里叶逆变换，即

$$C_C(t)=F^{-1}[ln \left| X(f) \right|]$$

归一化方法

偏差归一化：

$$R_{xxj}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} x_k \cdot x_{j+k}$$

无偏差归一化：

$$R_{xxj}=\frac{1}{N-\left| j \right|}\sum_{k=0}^{N-1} x_k \cdot x_{j+k}$$

滚动轴承概述

轴承的分类

轴承是当代机械设备中一种重要的零部件，其作用是支撑与固定轴。轴承分类多样，根据其运动形式可分为：滑动轴承、关节轴承、滚动轴承。

滑动轴承不分内外圈，也没有滚动体，一般由耐磨材料制成，常用于低速、轻载及加注润滑油及维护困难的机械转动部位。轴被轴承支承的部分被称为轴颈，与轴颈相配的零件被称为轴瓦。为了改善轴瓦表面的摩擦性质而在其内表面上浇铸的减摩材料层被称为轴承衬。轴瓦和轴承衬的材料统称为滑动轴承材料。滑动轴承一般应用在高速轻载工况条件下，如下图所示。

关节轴承是一种球面滑动轴承，其滑动接触表面是一个内球面和一个外球面，运动时可以在任意角度旋转摆动。下图为示例：

滚动轴承是将运转的轴与轴座之间的滑动摩擦变为滚动摩擦，从而减小摩擦损失的一种精密的机械元件。按滚动体的形状可分为球轴承和滚子轴承，滚子轴承按滚子的种类可分为圆柱滚子轴承、滚针轴承、圆锥滚子轴承和调心滚子轴承，如下图所示：

滚动轴承的基本结构

在各类轴承中，滚动轴承是应用范围最广、工况最复杂的轴承零件之一。滚动轴承的基本结构主要包括内圈、外圈、滚动体和保持架 4 部分，外圈的作用是固定在轴承座上，轴承座起支承作用；内圈的作用是与轴相配合，跟随轴一起旋转；保持架的作用是使滚动体均匀分布，引导滚动体旋转；滚动体是轴承的核心结构，其主要是做纯滚动运动以减小轴承与轴之间的摩擦力。

滚动轴承的结构参数如下图所示，一般认为轴承外圈固定不动，轴承结构参数包括内圈直径 $H$、外圈直径 $h$、厚度$b$、滚动体数目$N_m$、滚动体直径$D_d$、轴承节圆直径$d_m$、内圈随配合轴转动的频率$f_r$、轴承滚子接触角$\alpha$。

滚动轴承的主要振动来源

实际工程应用中，由轴承及其基座或外壳组成的系统产生振动的原因主要有两个方面。其一是轴承自身结构、加工装配误差及故障损伤等内在因素引起的激励；其二是转轴上其他机械部件运动等外在因素引起的激励。振动诊断法中传感器采集的振动信号是内在因素、外在因素对整个系统共同作用的结果。在故障检测诊断过程中，我们较关心的是故障损伤所引起的振动，因此有必要分析内在因素激励下轴承振动信号的特征。

轴承自身结构引起的振动

当滚动轴承运行时，滚动体同时在内圈、外圈凹槽滚道上转动，即使在加工装配无误的情况下，由于滚动体分布于滚道上，受到的载荷一直在变化，并且受载滚动体的数量也不同，因此轴承的整体刚度发生变化，激励了轴承的振动。当轴承以恒定转速运行时，由自身结构引发的振动具有确定性。在一定的固有频率范围内的振动，一般被视为正常振动。

内圈、外圈的固有频率：滚动轴承的内圈和外圈振动是其固有属性，因此其固有频率也最明显。利用简化模型，通过推导公式，可得出内圈、外圈的固有振动频率的简化的近似公式：

$$f_n=\frac{T(T^2 -1)}{2\pi \sqrt{T^2 +1}}=\frac{4}{d^2}\sqrt{\frac{EIg}{\gamma A}}$$

式中，$T$为振动阶数，振动阶数的取值为大于或等于2的整数；$E$为弹性模量；$I$为套圈横截面的惯性矩；$\gamma$为材料的密度；$A$为套圈的横截面积；$d$为套圈横截面的中性轴直径；$g$为重力加速度。

滚动轴承大多使用钢材制成，查弹性模量表可得钢材的弹性模量为$210GPa$。钢材的单位密度为$7.86 \times 10^{-5}kg/mm^3$，重力加速度为$9.8m/s^2$，将钢材的已知参数代入上式，经公示简化可得：

$$f_n=9.4 \times 10^{4} \times \frac{h}{b^2} \times \frac{T(T^2 -1)}{\sqrt{T^2 +1}}$$

同理，可得滚动体的固有频率的计算公式为：

$$f_{nb}=\frac{0.848}{D}\sqrt{\frac{E}{2\gamma}}$$

其中$D$为滚动体的直径。

加工装配误差引起的振动

在加工制造滚动轴承时会留有表面波纹等，此外轴承各元件在装配过程中难免出现形位误差或装配误差。在轴承运行过程中，上述因素所引起的交变激力一般具有周期特性，但是实际的构成较为复杂，各因素间的联系也是不确定的。因此，在这些因素的共同作用下轴承系统产生的振动十分复杂，振动信号含有多种频率分量，随机性较强。

轴承故障引起的振动

在滚动轴承的工作过程中，当轴承的各个零件经过轴承内表面的故障损伤点时会发生相互撞击，从而形成一系列脉冲波，并且伴随周期性，一般来说，把这种波称为冲击脉冲波，把其频率称为故障特征频率，也称为轴承的通过振动频率。这个频率比较低且很有规律性，可以根据轴承的一些参数求取。

对于不同的轴承元件，在发生故障时，其特殊的振动频率是不同的。轴承故障特征频率的计算公式如下。

内圈故障特征频率：

$$f_{BPFI}=\frac{N_m f_r}{2}(1+\frac{D_d}{d_m}cos \alpha)$$

外圈故障特征频率：

$$f_{BPFO}=\frac{N_m f_r}{2}(1-\frac{D_d}{d_m}cos \alpha)$$

滚动体故障特征频率：

$$f_{BSF}=\frac{d_m f_r}{2D_d}(1-(\frac{D_d}{d_m})^2 (cos \alpha)^2)$$

保持架故障特征频率：

$$f_{FTF}=\frac{f_r}{2}(1-\frac{D_d}{d_m}cos \alpha)$$

轴承状态的简易诊断

绝对诊断标准

绝对诊断标准是将测定的数据或统计量直接与标准阙值相比较，以判定设备所处的状态。

相对诊断标准

当设备诊断中尚无适用的绝对标准时可采用振动的相对标准，即对设备同一部位的振动进行定期检测，以设备正常状态下的振动值为标准值(参考值)，根据实测值与标准值之比是否超标来判定设备的运行状态。若与设备自身历史状态数据相比较，则简称“自身纵向比较法”；若无历史状态数据可查，则可另选同类型正常的机器数据做相应的比较，简称“同类横向比较法”。

类比诊断标准

类比诊断标准是把多台型号相同的整台机械设备或零部件在外载荷、转速及环境因素等都相同的条件下的被测量值进行比较，以区分这些同类设备或零部件所处的工况状态。对于同规格型号、同运行状况的若干设备，在缺乏必要的判断标准时可以采用类比诊断标准进行状态判别。严格地说，类比诊断标准并不是一种标准，而是形式逻辑推理中求异法的一个应用。

振动信号处理